Terhardt, E. (1986). Ableitungsregel der Laplace-Transformation und Anfangswertproblem. ntz-Archiv 8, 39-43
Die in Lehr- und Handbüchern verbreitete Ableitungsregel der Laplace-Transformation hält einer genaueren Untersuchung insofern nicht stand, als sich der darin enthaltene "Anfangswert" des Signals als Artifakt erweist. Derselbe entsteht dadurch, daß Signale p(t) bzw. deren Ableitung p(t) nur im Bereich t>0 betrachtet werden, wodurch der Signalsprung von p(t) in t=0 ignoriert wird. Es wird gezeigt, daß diese Betrachtungsweise den Grundannahmen und Voraussetzungen der Fourier- und Laplace-Transformation widerspricht, wonach das Signal im gesamten Bereich -unendlich < t < +unendlich von Bedeutung ist und in die Spektral- bzw. Bildfunktion eingeht. Wenn man dies berücksichtigt, wird der "Anfangswert" durch das Spektrum des im abgeleiteten Signal in t=0 auftretenden Dirac-Impulses gerade aufgehoben, so daß die Ableitungsregel in Wirklichkeit dp(t)/dt <-> sP(s) lautet. Das Anfangswertproblem der Lösung linearer Differentialgleichungen mit der Methode der Laplace-Transformation wird im Lichte dieser Ergebnisse diskutiert und es zeigt sich, daß es durch konsequente Anwendung des Konzepts und die Korrektur der Ableitungsregel erheblich durchschaubarer und seine Lösung einfacher wird.
The derivation theorem of Laplace transformation which is offered by text- and handbooks does not hold, as the "initial value" included turn out to be an artifact. This artifact emerges from considering the signal p(t) and its derivative, p'(t), only in the region t > 0 such that the step of p(t) which generally will exist in t=0 is ignored. It is shown that this approach is in conflict with the basic presuppositions of Fourier- and Laplace-transformation according to which the signal in the entire region -infinity < t < +infinity is relevant and included in the spectrum. When this is taken into account, the "initial value" is cancelled by the spectrum of the Dirac-impulse which is the derivative of the original signal's step in t=0. Thus the true derivation theorem simple is p'(t) <--> sP(s). The problem of initial conditions in solving linear differential equations by Laplace transformation is discussed and it is demonstrated that by strictly pursuing the appropriate basic concept that problem becomes considerably more transparent and by using the correct derivation theorem its solution gets simpler.